TUGAS MATEK : CONTOH SOAL & JAWABAN TURUNAN

9. Jika y=f(x) maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai..

    Jawab :

    y'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x))/Δx
. . . .Δx → 0

10. jika f'(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax+b) adalah...

      Jawab :

     misalkan u = ax + b

     df/dx = (df/du)(du/dx)

     df/dx = (df/du) (d(ax + b)/dx)

     df/dx = a (df/du)
     jadi hasil turunan f(ax + b) tergantung dari bentuk fungsi f terhadap u = ax + b

11. . Nilai dari :
        Lim x-->tak terhingga
        ( (akar dari 4x kuadrat + 3x - 5 ) - (akar dari 4x kuadrat - 9x + 8) )

       Jawab :

      

       A = lim √(4x² + 3x - 5) - √(4x² - 9x + 8)
       . . . .x → ∞
       kalikan dengan [√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]    

       sehingga diperoleh
       A = lim [(4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]
       . . . .x → ∞

      sederhanakan

      A = lim [(12x - 13]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]
      . . . .x → ∞
      penyebut dan pembilang dibagi dengan 2x
      A = lim [(6 - 6.5/x]/[√(1 + 0.75/x - 1.25/x²) + √(1 - 2.25/x + 2/x²)]
      . . . .x → ∞
      A = [(6 - 0]/[√(1 + 0 - 0) + √(1 - 0 + 0)] = 6/2
      A = 3

12. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y= tan x di titik ( pi/4 , 1 )

      adalah . . .

     

      Jawab :

    y = tan x

    y' = sec² x

    tegak lurus gradien y' adalah -1/y' = -cos²x

    gradien garis normalnya adalah m = -cos²(π/4) = -½

    persamaan garis normalnya adalah

    y - y1 = m (x - x1)

    y - 1 = -½ (x - π/4)

    y = -½ (x - π/4) + 1 

13. Jarak terpendek titik ( 4 , 2 ) ke titik pada parabola y^2=8x adalah . . .

      Jawab :

misalkan jarak terpendek koordinat (4,2) melalui (x,y) pada kurva parabola yang diketahui,

y² = 8x

turunan implisitnya adalah

2yy' = 8

y' = 4/y

y' adalah gradien garis singgung di titik (x,y), maka gradien garis normalnya adalah

m = -1/y' = (y-2)/(x-4)

y' = (4-x)/(y-2)

y' = y'

4/y = (4 - x)/(y - 2). . . . . . . . . (persamaan 1)

tetapi y² = 8x ⇔ x = y²/8. . . . . . . . . (persamaan 2)

substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1,

4/y = (4 - y²/8)/(y - 2)

-(y - 4)(y² + 4y + 16)/[8y(y - 2)] = 0

y ≠ 2

y ≠ 0

y = 4

x = y²/8 = 4²/8 = 2

maka jarak terpendek (4,2) ke kurva y² = 8x adalah jarak dari (2,4) ke (4,2) sejauh r

r² = (2 - 4)² + (4 - 2)²

r = 2√2

14. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = x ³ – 2x³+ 1 !
Jawab :
Turunan pertama dari fungsi f(x) = x³ – 2x² + 1 adalah f’(x) = 3x² – 4x
Nilai stasioner fungsi f(x) diperoleh jika f’(x) = 0
3x² – 4x = 0
3x (x – 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Nilai-nilai stasionernya adalah
Untuk x = 0 diperoleh f(0) = (0)³ – 2(0)² + 1 = 1
Untuk x = 4 diperoleh f(4) = (4)³ – 2(4)² + 1 = 33
Jadi, fungsi f(x) = x³ – 2x² + 1 mencapai nilai maksimum pada f(4) = 33 dan nilai minimum f(0) = 1

15.Dimanakah fungsi f(x) = x³ – 3x² + 3x – 2 akan cekung ke atas dan cekung ke bawah ?
Jawab :
Turunan pertama dan kedua fungsi f(x) = x³ – 3x² + 3x – 2 berturut-turut adalah f’(x) = 3x² – 6x + 3 dan f’’(x) = 6x – 6
Dengan menggunakan uji turunan kedua bagi kecekungan fungsi, dapat ditentukan:
f’’(x) > 0 berarti
=6x – 6 > 0
=6x > 6
=x > 1
f’’(x) < 0 berarti
=6x – 6 < 0
=6x < 6
Jadi, grafik fungsi f(x) = x³ – 3x² + 3x – 2 cekung ke atas dalam daerah {x │ x > 1} dan cekung ke bawah dalam daerah {x │ x < 1}
1. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x² – 2x + 4 pada selang (-∞,∞)
Jawab :
Pemakaian uji turunan pertama
f’(x) = 2x – 2
= 2x – 2 = 0
x = 1
f’(x) = 2x – 2 > 0
x > 1, f naik pada [1, ∞ )
f’(x) = 2x – 2 < 0
x < 1, f turun pada (- ∞, 1 ]
f (1) = (1)² – 2(2) + 4 = 1 (nilai minimum lokal)
Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x³ – 3x² + 3 pada selang (-∞,∞)
Jawab:
Pemakaian uji turunan kedua
f’(x) = 3×2 – 6x < 0
= 3x (x – 2) < 0
berarti x = 0 dan x = 2
f’’(x) = 6x – 6
f’’(6) = 6(0) – 6 = -6 (nilai minimum lokal)
f’’(2) = 6 (2) – 6 = 6 (nilai maksimum lokal)
1. Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema nilai rata-rata untuk f(x) = 2 – x2 pada [-10, 5] !
Jawab :
f’(x) = – 2x
dan
f (-10) – f (5) = -98 – (– 23) = -75 = 5
(-10) – (5)               –15              -15
-2c = 5
c = -5