TUGAS MATEK : CONTOH SOAL & JAWABAN TURUNAN 2

1) diberikan (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) cari turunan ke 100 dari ( x² +1 ) / ( x³ - x )

JAWAB:

(x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1)

(x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) / [x(x + 1)(x - 1)]

(x² + 1) = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1))

x² + 1 = (A+B+C)x² + (C-B)x - A

A = -1
B = 1
C = 1

Jadi
(x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1)

y = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1)

dy/dx = 1/x^2 - 1/(x+1)^2 - 1/(x-1)^2

d²y/dx ² = -2/x^3 + 2/(x+1)^3 + 2/(x-1)^3

d³y / dx³ = 6/x^4 + 6/(x+1)^4 + 6/(x-1)^4

turunan ke 100 sbb:
deret untuk angka pembilang 1, 2, 6, 24, 120, .........., n!
suku ke 100 = 100!

2) turunan ke 100 :
d^100 y / (dx)^100 = -(100!)/x^101 + 100!/(x+1)^101 + 100!/(x-1)^101

Turunan dari y = sin 2x cos 4x^3

JAWAB:

y = u . v
y' = u' v + v' u

y = sin 2x cos 4x^3
y' = 2cos2x cos4x³ + 12x²(-sin4x³)sin2x
y' = 2cos2x cos4x³ - 12x² sin4x³ sin2x

3) tentukan turunan dari y = x^(x^2 )

JAWAB:

y = x^(x^2)
ln y = x^2ln x
Turunkan tiap ruas
dy/y = 2x*dx*lnx + x^2*dx/x, bagi semua ruas dengan dx
dy/dx*1/y = 2xlnx + x^2/x, dy/dx = y'
y' = y*(2xlnx + x^2/x)
y' = x^(x^2)*(2xlnx + x)
y' = x^(x^2)*x*(2lnx + 1)
y' =[x^(x^2+1)]*(2lnx + 1)

4) dengan rumus f'(c)= lim h menuju 0 = f(c+h)-f(c)/h

f'(2)=jika =f(c)=x^2

JAWAB:

f'( c ) = lim x→0 f( c + h) - f( c ) / h maka f ( 2 + h ) → x = 2

f'( 2 + h ) = lim h→0 ( 2 + h )² - f( c ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 4 + 4h + h² - f( 2 ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 ( 2² ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 - 4 / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h( h + 4 )/ h ( coret h )

f'( 2 + h ) = lim h→0 h + 4 = 0 + 4 = 4

jadi f'( 2 ) = jika = f( c ) = x² = 2x = 2*2 = 4

5) g = 2x (m1+m2) / t^2 (m2-m1)

JAWAB:

g = (2 x(m1+m2)) / (t^2 (m2-m1))

g = ((2 x(m1+m2))/(m2-m1)) * t^-2

dg/dt= (-2)* ((2 x (m1+m2)) / (m2-m1)) * t^(-2-1)

dg/dt= (-4x(m1 + m2)) / (m2-m1)) * t^-3
ato bisa juga ditulis
dg/dt= -4x(m1+m2) / t^3 (m2-m1)

6) buktikan bahwa turunan y=arc tan u adalah 1/u^2+1

JAWAB:

y = arc tan u
tan y = u
(tan y)' = 1
(1+tan^2 y) y' = 1
y' = 1/ (1 + tan^2y)
y' = 1 / (1 + u^2)

7) Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y= tan x di titik ( pi/4 , 1 ) adalah

JAWAB:

misalkan jarak terpendek koordinat (4,2) melalui (x,y) pada kurva parabola yang diketahui,

y² = 8x

turunan implisitnya adalah

2yy' = 8

y' = 4/y

y' adalah gradien garis singgung di titik (x,y), maka gradien garis normalnya adalah

m = -1/y' = (y-2)/(x-4)

y' = (4-x)/(y-2)

y' = y'

4/y = (4 - x)/(y - 2). . . . . . . . . (persamaan 1)

tetapi y² = 8x ⇔ x = y²/8. . . . . . . . . (persamaan 2)

substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1,

4/y = (4 - y²/8)/(y - 2)

-(y - 4)(y² + 4y + 16)/[8y(y - 2)] = 0

y ≠ 2

y ≠ 0

y = 4

x = y²/8 = 4²/8 = 2

maka jarak terpendek (4,2) ke kurva y² = 8x adalah jarak dari (2,4) ke (4,2) sejauh r

r² = (2 - 4)² + (4 - 2)²

r = 2√2

8) ln xy + e^xy = xy

JAWAB:

turunan implisitnya :

1/(xy)(y + xy') + (y + xy') e^(xy) = (y + xy')

sederhanakan

y' = -y/x

9) (x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1)
f’(1) = . . . ?

JAWAB:

f(x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1)

= (x^6-1)(2x+5)
=2x^7+5x^6-2x-5

f(x)' = 14x^6+30x^5-2
f(1)' = 14 + 30 - 2
= 42

10)  y =(akar)2x^5

JAWAB:

y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’= 5/2 √2 x^(3/2)

y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5

y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11

y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5

y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5

y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2)

11) jika f'(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax+b) adalah...

JAWAB:

misalkan u = ax + b

df/dx = (df/du)(du/dx)

df/dx = (df/du) (d(ax + b)/dx)

df/dx = a (df/du)

12) Jika y=f(x) maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai....

JAWAB:

y'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x))/Δx
. . . .Δx → 0

13) Nilai dari : Lim x-->tak terhingga
( (akar dari 4x kuadrat + 3x - 5 ) - (akar dari 4x kuadrat - 9x + 8) )

JAWAB:

A = lim √(4x² + 3x - 5) - √(4x² - 9x + 8)
. . . .x → ∞

kalikan dengan [√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)] sehingga diperoleh

A = lim [(4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]
. . . .x → ∞

sederhanakan


A = lim [(12x - 13]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]
. . . .x → ∞

penyebut dan pembilang dibagi dengan 2x


A = lim [(6 - 6.5/x]/[√(1 + 0.75/x - 1.25/x²) + √(1 - 2.25/x + 2/x²)]
. . . .x → ∞

A = [(6 - 0]/[√(1 + 0 - 0) + √(1 - 0 + 0)] = 6/2

A = 3

14) 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4

JAWAB:

4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=0
4xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0
dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2)

d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2

15) turunan dari :
 ( X pangkat 2 + 2 X ) pangkat ¾

JAWAB:

y = -(x² + 2x)^3/4

y' = - 3/4 (x² + 2x)^-1/4) (2x + 2)

y' = - 3(2x+2) / (x²+2x)^1/4